فرمول Blac k-Scholes برای قیمت گزینه تماس

این مثال نحوه محاسبه قیمت گزینه تماس را با استفاده از فرمول Blac k-Scholes نشان می دهد. این مثال از VPasolve برای حل عددی مشکلات پیدا کردن قیمت نقطه و نوسانات ضمنی از فرمول سیاه و اسکولز استفاده می کند.

قیمت گزینه تماس را پیدا کنید

فرمول سیاه و سیاه قیمت گزینه های تماس اروپایی را مدل می کند [1]. برای یک سهام زیربنایی غیر سودمند ، پارامترهای فرمول به این صورت تعریف شده است:

• S قیمت فعلی سهام یا قیمت نقطه است.
• k ورزش یا اعتصاب قیمت است.
• σ انحراف استاندارد بازده سالانه به طور مداوم ترکیبی از سهام است که به آن نوسانات گفته می شود.
• T زمان انقضا در سالها است.
• r نرخ بهره سالانه بدون ریسک است.

قیمت گزینه تماس C از نظر پارامترهای سیاه و سفید است

c = n (d 1) × s - n (d 2) × p v (k) ،

• d 1 = 1 σ t [log (s k) + (r + σ 2 2) t]
• D 2 = D 1 - σ t
• p v (k) = k exp ( - r t)
• n (d) تابع توزیع تجمعی عادی استاندارد ، n (d) = 1 2 π ∫ - ∞ d exp ( - t 2 /2) d t.

قیمت یک گزینه سهام اروپایی را که در سه ماه با قیمت تمرینی 95 دلار منقضی می شود ، پیدا کنید. فرض کنید که سهام زیربنایی هیچ سود سهام را پرداخت نمی کند ، 100 دلار معامله می شود و سالانه 50 ٪ نوسانات دارد. نرخ بدون ریسک 1 ٪ در سال است.

برای ایجاد اعداد نمادین که نشان دهنده مقادیر پارامترهای سیاه و سفید است ، از Sym استفاده کنید.

تقاضاt dS = سیم (100) ؛٪ قیمت سهام فعلی (قیمت نقطه)k = سیم (95) ؛٪ قیمت ورزش (قیمت اعتصاب)سیگما = سیم (0. 50) ؛٪ نوسانات سهامt = سیم (3/12) ؛زمان انقضا در سالهاr = Sym (0. 01) ؛٪ سالانه نرخ بهره بدون ریسک

قیمت گزینه را بدون تقریب محاسبه کنید. یک تابع نمادین N (d) ایجاد کنید که نمایانگر عملکرد توزیع تجمعی عادی استاندارد است.

pv_k = k*exp (-r*t) ؛d1 = (log (s/k) + (r + sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt (t)) ؛d2 = d1 - sigma*sqrt (t) ؛n (d) = int (exp (-(t)^2)/2) ، t ، -inf ، d)*1/sqrt (2*sym (pi))

n (d) =

csym = n (d1)*s - n (d2)*pv_k

CSYM =

برای به دست آوردن نتیجه عددی با دقت متغیر ، از VPA استفاده کنید. به طور پیش فرض ، VPA با 32 رقم قابل توجه ، یک عدد را برمی گرداند.

CVPA = VPA (CSYM)

CVPA =$$\mathrm{12.\; 52792339252145394554497137187}$$

برای تغییر دقت ، از رقم استفاده کنید. قیمت گزینه به 6 رقم مهم 12. 5279 دلار است.

رقم (6) CVPA = VPA (CSYM)

CVPA =$$\mathrm{12.\; 5279}$$

قیمت گزینه تماس طرح

در مرحله بعد ، فرض کنید که برای همان گزینه سهام زمان تغییر و تحول و قیمت سهام روزانه ناشناخته است. قیمت این گزینه تماس را برای زمان انقضا t که از 0 تا 0. 25 سال متفاوت است ، پیدا کنید و قیمت S را که از 50 تا 140 دلار متفاوت است ، پیدا کنید. از مثال قبلی از مقادیر برای نرخ ورزش (K) ، نوسانات (SIGMA) و نرخ بهره (R) استفاده کنید. در این حالت ، از زمان برای انقضاء T و قیمت سهام روزانه S به عنوان مقادیر متغیر استفاده کنید.

عبارت نمادین C را تعریف کنید تا قیمت گزینه تماس با T و S را به عنوان متغیرهای ناشناخته نشان دهد.

تقاضاT Spv_k = k*exp (-r*t) ؛d1 = (log (s/k) + (r + sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt (t)) ؛d2 = d1 - sigma*sqrt (t) ؛nd1 = int (exp (-(t)^2)/2) ،-inf ، d1)*1/sqrt (2*pi) ؛nd2 = int (exp (-(t)^2)/2) ،-inf ، d2)*1/sqrt (2*pi) ؛c = nd1*s - nd2*pv_k ؛

قیمت گزینه تماس را به عنوان تابعی از قیمت نقطه و زمان انقضا ترسیم کنید.

FSURF (C ، [50 140 0 0. 25]) Xlabel ("قیمت نقطه") ylabel ("زمان انقضا") Zlabel ("قیمت گزینه تماس")

قیمت گزینه تماس را با زمان انقضا 0. 1 سال و قیمت نقطه 105 دلار محاسبه کنید. برای جایگزینی مقادیر t و s در عبارت c از زیر مجموعه استفاده کنید. قیمت را به عنوان یک نتیجه عددی با استفاده از VPA برگردانید.

csym = subs (c ، [t s] ، [0. 1 105]) ؛CVPA = VPA (CSYM)

CVPA =$$\mathrm{12.\; 5868}$$

قیمت نقطه را پیدا کنید

موردی را در نظر بگیرید که قیمت گزینه در حال تغییر است و می خواهید بدانید که این چگونه بر قیمت سهام اصلی تأثیر می گذارد. این یک مشکل برای یافتن S از فرمول سیاه و سیاه با توجه به پارامترهای شناخته شده K ، σ ، T ، R و C است.

به عنوان مثال ، پس از یک ماه ، قیمت همان گزینه تماس اکنون با 15. 04 دلار با زمان انقضا دو ماه معامله می شود. قیمت نقطه سهام زیرین را پیدا کنید. یک تابع نمادین C (های) ایجاد کنید که فرمول سیاه و سیاه را با پارامتر ناشناخته s نشان دهد.

تقاضاج (ها) D1 (ها) D2 (ها) ND1 (ها) ND2 (ها)k = 95 ؛٪ قیمت ورزش (قیمت اعتصاب)سیگما = 0. 50 ؛٪ نوسانات سهامt = 2/12 ؛زمان انقضا در سالهاr = 0. 01 ؛٪ سالانه نرخ بهره بدون ریسکpv_k = k*exp (-r*t) ؛d1 (s) = (log (s/k) + (r + sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt (t)) ؛d2 (s) = d1 - sigma*sqrt (t) ؛nd1 (s) = int (exp (-(t)^2)/2) ،-inf ، d1)*1/sqrt (2*pi) ؛nd2 (s) = int (exp (-(t)^2)/2) ،-inf ، d2)*1/sqrt (2*pi) ؛c (s) = nd1*s - nd2*pv_k ؛

از VPasolve برای حل عددی برای قیمت نقطه ای از سهام زیرین استفاده کنید. راه حل ها را فقط در اعداد مثبت جستجو کنید. قیمت نقطه ای از سهام زیرین 106. 162 دلار است.

s_sol = vpasolve (c (s) == 15. 04 ، s ، [0 inf])

s_sol =$$\mathrm{106.\; 162}$$

نوسانات ضمنی را پیدا کنید

موردی را در نظر بگیرید که قیمت گزینه در حال تغییر است و می خواهید بدانید نوسانات ضمنی چیست. این یک مشکل برای یافتن مقدار σ از فرمول سیاه و سیاه با توجه به پارامترهای شناخته شده S ، K ، T ، R و C است.

همان گزینه سهام را در نظر بگیرید که در سه ماه با قیمت تمرینی 95 دلار منقضی می شود. فرض کنید که سهام زیربنایی 100 دلار و نرخ بدون ریسک 1 ٪ در سال است. نوسانات ضمنی را به عنوان تابعی از قیمت گزینه پیدا کنید که از 6 تا 25 دلار متغیر باشد. یک بردار برای دامنه قیمت گزینه ایجاد کنید. یک تابع نمادین C (Sigma) ایجاد کنید که فرمول سیا ه-اسکولز را با پارامتر ناشناخته سیگما نشان می دهد. برای حل عددی برای نوسانات ضمنی از vpasolve استفاده کنید.

تقاضاج (سیگما) D1 (سیگما) D2 (سیگما) ND1 (سیگما) ND2 (سیگما)S = 100 ؛٪ قیمت سهام فعلی (قیمت نقطه)k = 95 ؛٪ قیمت ورزش (قیمت اعتصاب)t = 3/12 ؛زمان انقضا در سالهاr = 0. 01 ؛٪ سالانه نرخ بهره بدون ریسکc_range = 6:25 ؛دامنه قیمت گزینهSIGMA_SOL = صفر (اندازه (c_range)) ؛pv_k = k*exp (-r*t) ؛d1 (sigma) = (log (s/k) + (r + sigma^2/2)*t)/(sigma*sqrt (t)) ؛D2 (سیگما) = D1 - Sigma*Sqrt (t) ؛nd1 (sigma) = int (exp (-(t)^2)/2) ،-inf ، d1)*1/sqrt (2*pi) ؛nd2 (sigma) = int (exp (-(t)^2)/2) ،-inf ، d2)*1/sqrt (2*pi) ؛C (SIGMA) = ND1*S - ND2*PV_K ؛برایi = 1: طول (c_range) sigma_sol (i) = vpasolve (c (sigma) == c_range (i) ، sigma ، [0 inf]) ؛پایان

نوسانات ضمنی را به عنوان تابعی از قیمت گزینه ترسیم کنید.

طرح (c_range ، sigma_sol) xlabel ("قیمت گزینه") ylabel ('نوسانات ضمنی')