9. 2 علاقه مرکب

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

9. 2 علاقه مرکب

در پایان این بخش انتظار می رود که بتوانید:

  • مقدار مرکب (ارزش آینده) یک سرمایه گذاری یا وام را تعیین کنید
  • مؤلفه بهره یک سرمایه گذاری یا وام را که شامل بهره مرکب است تعیین کنید
  • مقدار فعلی یک مقدار مرکب را تعیین کنید

بهره مرکب

ما دیده ایم که با علاقه ساده ، سرمایه گذاری به مبلغ اصلی سود می برد. برای سرمایه گذاری 100 دلار که 10 ٪ سود ساده دارد ، سود حاصل از یک سال 10 دلار خواهد بود زیرا 10 ٪ از 100 دلار = 10 دلار است. اگر بهره بیشتر از یک بار در سال محاسبه شود ، سرمایه گذاری سریعتر رشد خواهد کرد. بهره نه تنها به مبلغ اصلی بلکه در مورد سود قبلی نیز محاسبه می شود. این فرآیند به ترکیب گفته می شود.

شکل 1 روند ترکیب یا کسب بهره را در مورد علاقه نشان می دهد. سرمایه گذاری 100 دلار را در نظر بگیرید که 10 ٪ در سال درآمد دارد و بهره به صورت نیمه ساله پیچیده است. با ترکیب نیمساله ، علاقه به سرمایه گذاری دو بار در طول سال محاسبه می شود.

با استفاده از فرمول علاقه ساده I = PRT ، در پایان شش ماه (نیم سال) علاقه به شرح زیر محاسبه می شود:

I = 100 x 10 ٪ x 1/2 سال = 5 دلار.

با افزودن این 5 دلار به اصل 100 دلار در پایان شش ماه اول 105 دلار خواهید داشت. در پایان سال ، بهره دوباره 105 دلار محاسبه می شود:

I = 105 x 10 ٪ x 1/2 سال = 5. 25 دلار.

با افزودن این 5. 25 دلار به 105 دلار ، در پایان سال 110. 25 دلار خواهید داشت. در این حالت شما نه تنها به اصلی اصلی 100 دلار ، بلکه به سود قبلی 5 دلار نیز سود می دهید. هنگامی که علاقه به بهره به دست می آید ، می گوییم که بهره پیچیده است. به کل سود اصلی و انباشته شده در پایان وام یا سرمایه گذاری ، مبلغ مرکب نامیده می شود.

یک سرمایه گذاری 100 دلاری را در نظر بگیرید که سالانه 10 ٪ در سال ترکیب می شود. جدول در شکل 2 نشان می دهد که چگونه ارزش سرمایه گذاری 100 دلاری در طی یک دوره 6 ساله رشد خواهد کرد.

 

سال مقدار در ابتدای سال سود کسب شده پایان سال
1 100 دلار 10 دلار 110 دلار
2 110 دلار 11 دلار 121 دلار
3 121 دلار 12. 10 دلار 133. 10 دلار
4 133. 10 دلار 13. 31 دلار 146. 41 دلار
5 146. 41 دلار 14. 64 دلار 161. 05 دلار
6 161. 05 دلار 16. 11 دلار 177. 16 دلار

در ابتدای سال 1 ، 100 دلار سرمایه گذاری می شود ، بنابراین بهره به دست آمده در سال اول این خواهد بود:

I = PRT = 100 $ × 0. 10 × 1 = 10 دلار. این به 100 دلار اصلی اضافه می شود تا در پایان سال 1 110 دلار باشد.

در آغاز سال 2 روند تکرار خواهد شد اما اصلی P 110 دلار است.

I = PRT = 110 $ × 0. 10 × 1 = 11 $ با علاقه بنابراین در پایان سال 2 وجود خواهد داشت:

110 دلار + 11 $ = 121 دلار در حساب.

توجه کنید که مبلغ مرکب در پایان دوره شش ساله 177. 16 دلار است. این سرمایه گذاری 77. 16 دلار انباشته شده به دست آورده است. اگر این سرمایه گذاری بر خلاف علاقه مرکب ، علاقه ساده ای کسب کرده بود ، فقط به دست می آورد:

I = PRT = 100 × 0. 10 × 6 = 60 دلار بهره.

روش فوق برای محاسبه مقدار ترکیب بسیار وقت گیر است. خوشبختانه ، یک فرمول ریاضی وجود دارد که می توانیم هنگام کار با علاقه مرکب از آن استفاده کنیم.

فرمول علاقه مرکب

فرمول علاقه مرکب:

 

  جایی که، A = مبلغ ترکیبی کل (شامل اصلی و علاقه)
P = اصلی
r = نرخ بهره سالانه
n = تعداد بار در یک سال که علاقه محاسبه می شود
t = زمان (در سالها)

از آنجا که A شامل اصلی و علاقه است ، برای یافتن مبلغ بهره ای که محاسبه می کنم:

مبلغ مرکب را پیدا کنید و سود حاصل از 100 دلار سالانه در 10 ٪ به مدت 6 سال به دست آمده است.

راه حل

n = 1 (از آنجا که علاقه یک بار در سال محاسبه می شود)

A - P = $ 177.16 - $100 =

سود به دست آمده 77. 16 دلار است

مبلغ ترکیب 177. 16 دلار است

کایل در قرعه کشی 10،000 دلار کسب کرد و مبلغ کامل را در یک سرمایه گذاری 3 ساله با 3. 8 ٪ سالانه ترکیبی واریز کرد. مبلغ مرکب و سود حاصل از سه سال را پیدا کنید.

مقدار ترکیب = 11،183. 87 دلار ؛بهره = 1183. 87 دلار

علاقه را می توان با استفاده از انواع دوره های ترکیبی ترکیب کرد. دوره ترکیب ، مدت زمان بین زمان محاسبه بهره و چه زمانی دوباره محاسبه می شود. اگر یک ماه بین هر محاسبه بهره وجود داشته باشد ، دوره ترکیب ماهانه است. با ترکیب ماهانه 12 دوره ترکیب در یک سال از زمان دوازده ماه در سال وجود خواهد داشت. متغیر N در فرمول علاقه مرکب تعداد دفعاتی را در یک سال نشان می دهد که علاقه محاسبه می شود.

اگر علاقه پیچیده باشد:

سالانه (یک بار در سال) ⇒ n = 1

نیمه سالانه (دو بار در سال) ⇒ n = 2

سه ماهه (چهار بار در سال) ⇒ n = 4

ماهانه (دوازده بار در سال) ⇒ n = 12

هفتگی (پنجاه و دو بار در سال) ⇒ n = 52

روزانه (سیصد و شصت و پنج بار در سال) ⇒ n = 365

مبلغ مرکب و سود کسب شده در 500 دلار مرکب را به صورت نیمه ساله در 6 ٪ به مدت 3 سال پیدا کنید.

راه حل

 

   
  A = 500 left ( 1 + frac{0.06}{2} ight )^{2 imes 3}
(از آنجا که علاقه به صورت نیمه ساله یا 2 بار در سال محاسبه می شود)  
   
 

مبلغ مرکب 597. 03 دلار و سود به دست آمده 597. 03 دلار است - 500 دلار = 97. 03 دلار

کام 10000 دلار در یک قرعه کشی برنده شد و کل مبلغ را در یک سرمایه گذاری 3 ساله با 3. 8٪ مرکب ماهانه واریز کرد. مقدار مرکب و سود کسب شده در طول سه سال را بیابید.

مقدار مرکب = 11205. 50 دلار؛بهره = 1205. 50 دلار

هر چه تعداد دوره های مرکب در یک سال بیشتر باشد، کل سود به دست آمده بیشتر خواهد بود.

مقدار مرکب و سود 500 دلاری مرکب روزانه را با 6 درصد به مدت 3 سال به دست آورید.

راه حل

 

   
  A = 500 left ( 1 + frac{0.06}{365} ight )^{365 imes 3}
(از آنجایی که سود روزانه محاسبه می شود) A = 500 left ( 1 + frac{0.06}{365} ight )^{1095}
  A = 500 left ( 1.000164 ight )^{1095}
 

مبلغ مرکب 598. 60 دلار و سود کسب شده 598. 60 - 500 دلار = 98. 60 دلار است.

کام 10000 دلار در قرعه کشی برنده شد و کل مبلغ را در یک سرمایه گذاری 3 ساله با 3. 8٪ مرکب روزانه واریز کرد. مقدار مرکب و سود کسب شده در طول سه سال را بیابید.

مقدار مرکب = 11207. 45 دلار؛بهره = 1207. 45 دلار

گیرندگان وام باید اصل مبلغ وام گیرنده به اضافه هر سودی را بازپرداخت کنند. هنگامی که بهره مرکب شود، آنها بهای بیشتری (بر حسب بهره کل) خواهند پرداخت.

پت 3200 دلار با نرخ بهره 6. 5 درصد مرکب به صورت شش ماهه وام می گیرد. مبلغ اصلی وام به اضافه سود باید در 3 سال بازپرداخت شود. کل مبلغی که باید در سه سال بازپرداخت شود را محاسبه کنید و میزان بهره را تعیین کنید.

راه حل

 

   
  A = 3200 left ( 1 + frac{0.065}{2} ight )^{2 imes 3}
(از آنجا که علاقه به صورت نیمه ساله یا 2 بار در سال محاسبه می شود) A = 3200 left ( 1 + frac{0.065}{2} ight )^{6}
   
 

مبلغ مرکب 3876. 95 دلار و سود بدهی 3876. 95 دلار - 3200 دلار = 676. 95 دلار است.

سود مرکب وام 2 ساله 5000 دلاری را با نرخ بهره 4. 8 درصد مرکب در سه ماهه تعیین کنید.

مقدار مرکب = 5500. 65 دلار؛بهره = 500. 65 دلار

پت 3200 دلار با نرخ بهره 6. 5 درصد مرکب ماهانه وام می گیرد. مبلغ اصلی وام به اضافه سود باید در 3 سال بازپرداخت شود. کل مبلغی را که باید طی سه سال بازپرداخت شود محاسبه کنید و میزان بهره را تعیین کنید.

راه حل

 

   
  A = 3200 left ( 1 + frac{0.065}{12} ight )^{12 imes 3}
(از آنجایی که سود ماهانه یا 12 بار در سال محاسبه می شود) A = 3200 left ( 1 + frac{0.065}{12} ight )^{36}
  A = 3200 left ( 1.00542 ight )^{36}
 

مبلغ مرکب 3886. 95 دلار و سود بدهی 3886. 95 دلار - 3200 دلار = 686. 95 دلار است.

سود مرکب وام 2 ساله 5000 دلاری را با نرخ بهره 4. 8 درصد مرکب روزانه تعیین کنید.

مقدار مرکب = 5503. 76 دلار؛بهره = 503. 76 دلار

تغییر در بهره مرکب - ارزش فعلی

ممکن است بخواهیم بدانیم که اکنون برای خرید در آینده چقدر باید سرمایه گذاری کنیم. به عنوان مثال بگویید که می خواهید بدانید که برای سرمایه گذاری در دو سال 2000 دلار برای سرمایه گذاری چقدر نیاز دارید. مبلغی که اکنون باید سرمایه گذاری کنید ، ارزش فعلی 2000 دلار نامیده می شود. این مبلغ پولی است که در صورت سرمایه گذاری در حال حاضر به 2000 دلار در دو سال جمع می شود. با فرض اینکه سرمایه گذاری شما سود کسب می کند ، مبلغ مورد نیاز اکنون کمتر از مبلغ آینده خواهد بود. با فرض ترکیب سالانه با نرخ بهره 5 ٪ ، اکنون باید 1814. 06 دلار سرمایه گذاری کنید تا در دو سال 2000 دلار داشته باشید. به شکل 3 در زیر مراجعه کنید.

Present Value

در شکل 3 می بینیم که در ابتدای سال 1814. 06 دلار سرمایه گذاری می شود.

در پایان سال اول ، بهره به دست آمده از 1814. 06 دلار 5 ٪ 1814. 06 = 90. 70 دلار است.

در پایان سال اول 1904. 76 دلار در حساب وجود خواهد داشت. در سال دوم ، بهره به دست آمده از 1904. 76 دلار به دست آمده است. 0. 05 $ 1904. 76 = 95. 24 دلار است.

در سال دوم 2000. 00 دلار در حساب وجود خواهد داشت. گفته می شود 2000 دلار که در دو سال مورد نیاز است ، ارزش فعلی 1814. 06 دلار را دارد.

مقدار فعلی را می توان با حل فرمول علاقه مرکب برای p محاسبه کرد.

فرمول برای مقدار فعلی

فرمول ارزش فعلی:

 

جایی که P = مقدار فعلی
a = مقدار آینده مورد نظر
r = نرخ بهره (به عنوان کسری اعشاری)
n = تعداد بار علاقه در یک سال محاسبه می شود
t = زمان (در سالها)

یک شرکت نقاشی خانه قصد دارد تا مدت سه سال فعالیت های خود را گسترش دهد. برای گسترش به 24000 دلار نیاز دارد. اکنون چقدر باید سرمایه گذاری کند ، با 4. 6 ٪ سود سالانه پیچیده است؟

راه حل

ارزش فعلی 20،970. 86 دلار است ، بنابراین شرکت باید این مبلغ را اکنون سرمایه گذاری کند تا در سه سال 24000 دلار داشته باشد.

MAE در حال برنامه ریزی برای خرید وسیله نقلیه در هنگام 18 سالگی در پنج سال است. او اکنون چقدر پول باید در یک حساب سرمایه گذاری کند که سالانه 7 ٪ سود آن را جمع می کند تا بتواند یک وسیله نقلیه استفاده شده را با هزینه 5000 دلار هزینه کند؟

سرمایه گذاری 3564. 93 دلار مورد نیاز است

پت و دوستانش در پنج سال قصد دارند مجدداً اتحاد شوند. وی تخمین می زند که هزینه سفر به علاوه هزینه ها تقریباً 2000 دلار خواهد بود. اگر او بداند پولش 6 ٪ سه ماهه مرکب را کسب می کند ، چقدر باید در حال حاضر سرمایه گذاری کند تا پنج سال از این پس 2000 دلار سرمایه گذاری کند؟

راه حل

ارزش فعلی 1484. 94 دلار است

به عبارت دیگر ، اگر PAT در حال حاضر 1484. 94 دلار سرمایه گذاری کند و در سه ماهه 6 ٪ مرکب باشد ، در 5 سال مبلغ ترکیب 2000 دلار خواهد بود.

شما قصد دارید تا چهار سال دیگر در کالج شرکت کنید و والدینتان قصد دارند با کمک 10000 دلاری به شما کمک کنند. اگر قصد دارند در عرض چهار سال 10000 دلار در حساب داشته باشند، اکنون چه مقدار پول باید در حسابی سرمایه گذاری کنند که 5. 6 درصد درآمد ماهیانه دارد؟

مفاهیم کلیدی

 

  • برای تعیین مقدار مرکب (A) یک سرمایه گذاری یا وام:
    •  
  • برای تعیین جزء بهره (I) یک مبلغ اصلی یا اصلی (P) که به مقدار مرکب (A) افزایش یافته است:
    • بهره = مبلغ مرکب مبلغ اصلی I = A P
  • برای تعیین مقدار فعلی P یک مقدار ترکیبی، فرمول زیر است:
    •  
  • دوره های ترکیبی
    • سالانه (یک بار در سال) ⇒ n = 1
    • نیمه سالانه (دو بار در سال) ⇒ n = 2
    • سه ماهه (چهار بار در سال) ⇒ n = 4
    • ماهانه (دوازده بار در سال) ⇒ n = 12
    • هفتگی (پنجاه و دو بار در سال) ⇒ n = 52
    • روزانه (سیصد و شصت و پنج بار در سال) ⇒ n = 365

 

واژه نامه

مقدار مرکب

مبلغ کل اصل و سود انباشته در پایان دوره وام یا سرمایه گذاری است.

بهره مرکب

زمانی است که سود وام یا سپرده بر اساس اصل اولیه و هر سود انباشته دوره های قبلی محاسبه می شود.

دوره ترکیب

بازه زمانی بین زمانی که سود محاسبه می شود و زمانی که دوباره محاسبه می شود است.

ارزش حاضر

ارزش فعلی مبلغی است که سرمایه گذاری شده و به مقدار مرکب بزرگتری رسیده است.

9. 2 مجموعه تمرین

  1. مقدار n را در هر یک از موارد زیر تعیین کنید:
    1. هفتگی، سپس n = ___________
    2. به صورت نیمه سالانه، سپس n = ________
    3. فصلی، سپس n = _______
    4. روزانه، سپس n = _______
    1. برای تعیین مقدار ترکیبی سرمایه گذاری Ada در پایان 5 سال، جدول زیر را تکمیل کنید.
      سال مقدار اصلی سود کسب شده مجموع پایان سال
      1 1000 دلار 50 دلار 1050 دلار
      2 1050 دلار 52. 50 دلار
      3
      4
      5
    2. از فرمول بهره مرکب برای تعیین مقدار ترکیبی که آدا در 5 سال آینده کسب خواهد کرد استفاده کنید.
    1. 1000 دلار سالانه با 9 درصد به مدت 5 سال ترکیب می شود.
    2. 1000 دلار در شش ماهه سالانه 9 درصد به مدت 5 سال ترکیب می شود.
    3. 1000 دلار به صورت سه ماهه با 9 درصد به مدت 5 سال ترکیب می شود.
    4. 1000 دلار ماهانه با 9٪ به مدت 5 سال ترکیب می شود.
    5. 1000 دلار به مدت 5 سال روزانه با 9٪ ترکیب می شود.
    1. وقتی پنی 10 ساله شود، این صندوق چقدر ارزش خواهد داشت؟
    2. والدین پنی وقتی پنی 10 ساله شد، پول را از صندوق می گیرند و آن را با 7. 2 درصد ترکیب ماهیانه دوباره سرمایه گذاری می کنند. وقتی پنی 18 ساله شود، ارزش سرمایه گذاری چقدر خواهد بود؟
    1. حساب پس انداز (به سود) در یک سال چقدر خواهد بود؟
    2. گواهی پس انداز بعد از یک سال چقدر سود خواهد داشت؟
    3. کدام گزینه و چقدر سود بیشتری دارد؟
    1. 3%
    2. 6%
    3. 9%
    4. توجه داشته باشید که نرخ بهره 9% سه برابر نرخ سود 3% است. سود کل کسب شده با 9 درصد چند برابر بیشتر از نرخ 3 درصد است؟
    1. 30 روز
    2. 60 روز
    3. 90 روز
    4. اگر 90 روز برای بازپرداخت وام به جای بازپرداخت 30 روزه صبر کنید، چقدر سود بیشتری بدهکار خواهید بود؟آیا پرداخت سریع وام منطقی است؟
    1. گزینه A: 8000 دلار سرمایه گذاری به مدت 3 سال با 2. 6٪ سه ماهه مرکب گزینه B: 8000 دلار سرمایه گذاری برای 2 سال با 6. 8٪ ترکیبی ماهانه
    2. گزینه A: 20, 000 دلار سرمایه گذاری به مدت 7 سال با 8. 6% ترکیب سالیانه گزینه B: 20, 000 دلار سرمایه گذاری به مدت 8 سال با 7. 4% ترکیب شده به صورت شش ماهه
    1. 1800 دلار سررسید 5 ساله با 4. 6% ترکیبی در شش ماهه سالانه.
    2. پرداخت 2500 دلار در 2 سال با 3. 6% مرکب ماهانه.
    3. پرداخت 4000 دلار در 10 سال با 8. 4٪ مرکب سالانه.
    4. سررسید 650 دلاری در یک سال و نیم با 4 درصد مرکب در سه ماهه.
    5. 1000 دلار سررسید 6 ماهه با 2. 8% مرکب ماهانه.

    پاسخ ها

    انتساب

    برخی از مطالب این فصل از "واحد 3: بهره مرکب" و "واحد 4: تغییرات بهره مرکب - ارزش فعلی" در مجوز CC BY 4. 0 است. اقتباس شده توسط کیم موشنکو. برای اطلاعات بیشتر به صفحه حق چاپ مراجعه کنید.

    مجوز

    ریاضیات تجاری/تکنیکال توسط ایزابلا مازور و کیم موشنکو تحت مجوز Creative Commons Attribution 4. 0 بین المللی مجوز دارد، مگر در مواردی که غیر از آن ذکر شده باشد.

فارکس پرشین...
ما را در سایت فارکس پرشین دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : الیزابت امینی بازدید : <-PostHit-> تاريخ : دوشنبه 13 شهريور 1402 ساعت: 18:05

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه